Есть вопрос: Как решить математич. задачу про корни уравнения (x³+2ax²-4a)/(ax²+x-3a)=0?

Есть вопрос: Как решить математич. задачу про корни уравнения (x³+2ax²-4a)/(ax²+x-3a)=0?



У меня такой вопрос: Как решить математич. задачу про корни уравнения (x³+2ax²-4a)/(ax²+x-3a)=0?


Все таки условие не очень точное. Фразу:
Следовало бы написать имеет только два разных корня. Так как, когда имеет три корня уравнение, то там тоже 2 разных корня и задачка буде иметь много решений, ну в конце я их напишу. А решим все таки с фразой только 2 корняВероятные варианты решения.В числителе кубическое уравнение, которое может иметь 1 либо 2 либо 3 вещественных корня.Вариант 1:В числителе 3 корня и 1 корень совпадает с корнем знаменателя. А так как знаменатель приравниваться нулю не должен, то один корень пропадет.Так как один корень совпадет, то и числитель и знаменатель будут равны 0 и равны друг дружке. Приравняем эти уравнения: x³+2ax²-4a = ax²+x-3ax³ + 2ax² - 4a - ax² - x + 3a = 0x³ + ax² - a - х = 0x²(x+a) - (x+a) = 0(x²-1)•(x+a) = 0x = ±1 либо x = -aДругими словами корешки у числителя и знаменателя совпадут в 3 случаях:1) x = 1, подставляем в ур-е числителя: 1 + 2a - 4a = 0; a = 1/2У нас выходит уравнение в числителе: x³ + x² - 2 = 0, так как x=1 - корень, разделим на множитель (x-1).Получим: (x-1)•(x²+2x+2) = 0, но у 2-ой скобки нет корней D<0. Выходит, что только 1 корень, который не удовлетворяет нашему уравнению.2) x = -1, подставляем в ур-е числителя: -1 + 2a - 4a = 0; a = -1/2У нас выходит уравнение в числителе: x³ - x² + 2 = 0, так как x=-1 - корень, разделим на множитель (x+1).Получим: (x+1)•(x²-2x+2) = 0, но у 2-ой скобки нет корней D<0. Выходит, что только 1 корень, который не удовлетворяет нашему уравнению.3) x = -a, подставляем в ур-е числителя: -a³ + 2a³ - 4a = 0;a³-4a = 0a•(a²-4) = 0a = 0 либо a = ±2а) a = 0У нас выходит уравнение в числителе: x³ = 0, другими словами x = 0. Выходит, что только 1 корень, который не удовлетворяет нашему уравнению.б) a = 2У нас выходит уравнение в числителе: x³ + 4x² - 8 = 0, так как x = -2 - корень, разделим на множитель (x+2).Получим: (x+2)•(x²+2x-4) = 0; Во 2-ой скобке квадратное уравнение, D>0 - 2 корня, при этом корешки ≠ ±1 и -2. (Отыскивать их не непременно) x₁,₂ = -1±√5Получили 3 корня в числителе и один совпадает с корнем знаменателя, другими словами остается 2 корня. Это подходитв) a = -2У нас выходит уравнение в числителе: x³ - 4x² + 8 = 0, так как x = 2 - корень, разделим на множитель (x-2).Получим: (x-2)•(x²-2x-4) = 0; Во 2-ой скобке квадратное уравнение, D>0 - 2 корня, при этом корешки ≠ ±1 и 2. (Отыскивать их не непременно) x₁,₂ = 1±√5Получили 3 корня в числителе и один совпадает с корнем знаменателя, другими словами остается 2 корня. Это подходитВариант 2Уравнение в числителе имеет 2 корня и при всем этом знаменатель ≠ 0, другими словами эти корешки не являются решением уравнения в знаменателеУравнение в числителе будет иметь только 2 корня тогда, когда 2 из 3 совпадут. Другими словами функция y = x³ + 2ax² - 4a коснется оси Ox, другими словами Ox - будет касательной. Нам необходимы такие варианты когда угол наклона касательной = 0. Вычислим производную и приравняем к 0 y' = 0y' = (x³ + 2ax² - 4a)' = 3x² + 4ax = 0x(3x+4a) = 0x = 0 либо x = -4a/3При всем этом эти x - должны быть корнями уравнения y = x³ + 2ax² - 4a = 0 (касательная конкретно ось Ox)1) x = 0Подставляем. получим -4a = 0 и a = 0, здесь у нас один корень получится, да еще не является решением уравнения полностью.2) x = -4a/3Подставляем. -(64/27)a³ + (32/9)a³ - 4a = 0-4a•(16a² - 24a² + 27) = 0a•(27-8a²) = 0a = 0 либо a = ±√(27/8) = ±3√6/4a) a = 0 Мы уже считали. Это не удовлетворяетб) a = 3√6/4тогда x₁ = -4•3√6/(4•3) = -√6,У нас выходит уравнение в числителе: x³ + (3√6/2)•x² - 3√6 = 0, так как x = -√6 - корень, разделим на множитель (x+√6).(x+√6)•(x²+(√6/2)•x-3) = 0так как x = -√6 - корень совпадающий 2 раза, разделим на множитель (x+√6)вторую скобку снова.(x+√6)²•(x - √6/2) = 0 Получили 2 корня x = -√6 и x = √6/2. Эти корешки не являются решением знаменателя так как ≠ ±1 и ≠ -aЭтот случай подходитв) a = -3√6/4тогда x₁ = -4•(-3√6/(4•3)) = √6,У нас выходит уравнение в числителе: x³ - (3√6/2)•x² + 3√6 = 0, так как x = √6 - корень, разделим на множитель (x-√6).(x-√6)•(x²-(√6/2)•x-3) = 0так как x = √6 - корень совпадающий 2 раза, разделим на множитель (x-√6)вторую скобку снова.(x-√6)²•(x + √6/2) = 0 Получили 2 корня x = √6 и x = -√6/2. Эти корешки не являются решением знаменателя так как ≠ ±1 и ≠ -aЭтот случай подходитОтвет: a = ± 2 и a = ±3√6/4П.С.Как обещал. Если же рассматривать все решения и 2 и 3 корня (посреди которых есть 2 разных), то a ∈ (-∞; -3√6/4] ⋃

*****




*****



Вопросы по образованию
У меня вопрос: Какие составить предложения со словосочетанием береговая линия?

У меня вопрос: Какие составить предложения со..

Этот котеджный поселок в свое время был построен без учета береговой полосы.Береговая линия закрепляется...

Вопросы по образованию
Вопрос: Какие составить предложения с фразеологизмом центр тяжести?

Вопрос: Какие составить предложения с фразеологизмом..

1 Из Европы на Тихий океан перемещается центр масс мирового противоборства.2 Министр обязал перенести...

Вопросы по образованию
Такой вопрос: Как можно проектировать счастливое будущее?

Такой вопрос: Как можно проектировать счастливое..

Чтоб спроектировать счастливое будущее нужно поставить для себя поставленную задачу и добиваться её по...

Вопросы по образованию
Есть вопрос: Велосипедист подсчитал, что если он поедет со ск-ью 6 км/ч(см). Как решить?

Есть вопрос: Велосипедист подсчитал, что если он..

Схема движения велосипедиста за некоторое однообразное время.Масштаб - = 1км0 - точка старта,М - место...

Вопросы по образованию
Вопрос: Окружающий мир 2 класс, Доклад на тему Профессия художник, как написать?

Вопрос: Окружающий мир 2 класс, Доклад на тему..

Живописец - профессия, которая появилась еще у старых людей. Должен же был кто-то делать наскальные...

Вопросы по образованию
Есть вопрос: Слово сплошь - какая часть речи?

Есть вопрос: Слово сплошь - какая часть речи?..

Начнём с примера:«К вечеру тучи уже сплошь заволокли всё небо». Как тучи заволокли небо? – сплошь, т...

Комментарии (0)